La dynamique des fluides

Poiseuille définit les lois de l’écoulement laminaire.
Dans un tube rectiligne, cylindrique et de section constante, le débit Q est donné par la relation :

dans laquelle ΔP est la différence de pression régnant entre les deux extrémités du tube, dont le rayon est r, la longueur L et dans lequel s’écoule un liquide dont le coefficient de viscosité est n.
À partir de cette formule, on peut connaître la différence de pression ΔP si les autres éléments sont connus et :

Cette formule de Poiseuille fait apparaître que lors de l’écoulement d’un liquide sous débit constant dans un tube rectiligne et de section constante, la variation de pression, tout le long du tube, entre l’origine et l’extrémité, doit être linéaire. En effet, si Q, n et r sont constants, on peut écrire : ΔP = Cte x L


Figure 2 : Variation de la pression latérale lors d’un écoulement liquidien dans un tube rectiligne et de section constante. Schéma d’après Hermann Cier (2)

La différence de pression régnant entre l’entrée et un point quelconque du tube sera donc d’autant plus grande que le point exploré sera plus éloigné de l’origine. Un montage expérimental simple met bien ceci en évidence. (Figure 2) De la partie inféro-latérale d’un réservoir part un tube horizontal, rectiligne et de section constante.

Latéralement à ce tube, est fixée une série de tubes parallèles, verticaux. Le réservoir est alors rempli d’eau, jusqu’à une hauteur H. L’eau s’écoule par le tube horizontal, mais la hauteur de l’eau dans les tubes latéraux perpendiculaires à la direction de l’écoulement diminue graduellement et régulièrement lorsqu’on s’éloigne du réservoir. La hauteur H de l’eau dans le réservoir figure la pression à l’origine du système d’écoulement. Cette pression est nulle à l’autre extrémité. Les tubes verticaux (tubes piézométriques) montrent bien que, conformément à la loi de Poiseuille, la chute de pression est linéaire tout le long de ce système d’écoulement.

On ne peut appliquer la loi de Poiseuille à l’appareil vasculaire. Même en ne considérant que les instants où le débit cardiaque, c’est à-dire le débit à l’origine du système artériel, est constant, les vaisseaux ne peuvent être assimilés à un tube rectiligne et de section constante. Les artères offrent de nombreuses ramifications et coudures successives, et leur calibre diminue progressivement depuis l’aorte jusqu’aux artérioles qui précèdent les capillaires. Ceux-ci, très abondants certes, sont des tubes extrêmement ténus (quelques microns ou dizaines de microns) et dans le système veineux qui leur fait suite, l’évolution du calibre est inversée, puisque les veines sont de plus en plus grosses au fur et à mesure qu’on se rapproche du cœur. Schématiquement et abstraction faite des ramifications et des coudures, l’appareil vasculaire peut être considéré comme un système d’écoulement constitué de trois segments : un premier de gros calibre, les artères ; un second de petit calibre, les artérioles, les capillaires et les veinules ; et enfin un troisième segment, de gros calibre encore, les veines. Or, dans un tel système, la chute de pression entre l’origine et l’extrémité n’est plus linéaire et cela peut être facilement montré sur un schéma piézométrique.


Figure 3 : Variation de la pression latérale lors d’un écoulement liquidien dans un tube rectiligne rétréci dans sa portion médiane. En pointillé est représenté ce que serait la baisse de pression tout le long du tube d’écoulement si sa section était constante. Schéma d’après Hermann Cier (2)

Le tube d’écoulement branché horizontalement sur la portion inféro-latérale du réservoir comprend trois segments de longueur identique AIV, mais le segment central est d’un rayon inférieur à celui des deux autres. Ce rétrécissement schématise l’ensemble des artérioles, des capillaires et des veinules. Lorsque le réservoir est rempli d’eau jusqu’à une hauteur H, le liquide s’écoule par le tube horizontal, mais la hauteur de l’eau dans les tubes piézométriques branchés latéralement au système d’écoulement ne diminue pas régulièrement lorsqu’on s’éloigne du réservoir. Le rétrécissement augmente la pression latérale en amont et la diminue en aval.

Cette constatation expérimentale pouvait être déduite d’ailleurs des éléments de la loi de Poiseuille. Dans le système d’écoulement représenté sur la Figure 3, le débit est constant tant que le niveau de l’eau, dans le réservoir, est maintenu à une hauteur H, et il est le même en chacun des trois segments. La différence de pression régnant entre chacune de leurs extrémités respectives est donnée par

Dans les segments A et V, la différence de pression ΔP sera très faible parce que les tubes sont de gros calibre et que la valeur de r4, portée en dénominateur est grande. Par contre, dans le segment intermédiaire 1, la différence de pression entre ses deux extrémités sera grande parce que le rayon du tube est petit. La loi de Poiseuille fait également apparaître que de faibles variations du rayon du segment intermédiaire auront de grosses répercussions sur ΔP. Le gradient de pression, en effet, est inversement proportionnel à la quatrième puissance du rayon (r4). C’est-à-dire que lorsque celui-ci variera dans un rapport de 1 à 2, la différence de pression sera, dans un rapport inverse, de 1 à 16.

Il est certain que le système vasculaire constitue un ensemble de tubulures encore beaucoup plus complexe que le schéma qui vient d’être étudié. Son analyse est beaucoup plus difficile, parce que la portion rétrécie ne se limite pas à la tubulure unique du segment intermédiaire 1, mais qu’il y a, entre l’aorte et ses gros troncs de bifurcation d’une part, et les grosses veines d’autre part, un ensemble de rétrécissements placés en série (succession artériole, capillaire, veinule) et en parallèle (même succession pour chaque organe ou chaque territoire de distribution d’une grosse branche artérielle). En outre, chacun de ces segments du système vasculaire présente des coudures et des ramifications qui agissent comme des rétrécissements, en ce sens qu’elles constituent des obstacles relatifs à l’écoulement du sang. Aussi, dans le système artériel, les ramifications successives s’ajoutent aux rétrécissements artériolaires, en tant que facteur de conservation de la pression. Parce qu’elles sont des vaisseaux de gros calibre et parce qu’elles sont placées en amont de rétrécissements, la baisse de pression ΔP dans les artères, depuis l’origine de l’aorte jusqu’aux artérioles, sera faible. Par contre, dans les artérioles, vaisseaux de petit calibre, aux ramifications et aux coudures multiples, le gradient de pression, entre leur origine et leur débouché dans les réseaux capillaires, sera élevé.

La chute de pression sera encore notable dans la traversée capillaire, en raison de son étroitesse. Toutefois, en valeur absolue, elle sera moins marquée que dans les artérioles pour deux raisons :
• Le nombre considérable des capillaires permet un débit sanguin tissulaire élevé, en dépit d’un petit débit dans chaque capillaire pris isolément ;
• Les capillaires sont beaucoup plus courts que les artérioles, et la loi de Poiseuille montre que pour un débit et un calibre identiques, le gradient de pression est proportionnel à la longueur

Il reste enfin les veinules et les veines ; la progression du sang y sera assurée sous un régime de très basse pression. Cela est possible pour de nombreuses raisons, mais surtout parce que des veinules à l’oreillette, le sang ne rencontre devant lui aucun rétrécissement mais que, au contraire, le calibre de ces vaisseaux augmente régulièrement.

De ce seul fait, le gradient de pression nécessaire et suffisant pour assurer la progression du sang entre deux points du système veineux sera faible, et d’autant plus faible qu’on se rapproche davantage de l’oreillette.

Ces considérations théoriques sont vérifiées par les mesures effectuées en divers points de l’appareil vasculaire. Dans la grande circulation, il apparaît bien, en particulier, que la chute de pression la plus importante s’observe dans le système artériolaire. La Figure 4 schématise cette évolution, les valeurs des pressions, portées en ordonnées, représentant la pression moyenne régnante dans le segment de l’appareil vasculaire porté au-dessous de la ligne des abscisses.
Au point de vue fonctionnel, la pression artérielle n’a pour but que d’assurer un débit sanguin suffisant au niveau des organes et ceci afin de satisfaire à leurs besoins métaboliques. Or, le débit, en un point quelconque de l’appareil circulatoire, est le volume de sang qui y passe dans l’unité de temps. Il est fonction de la vitesse linéaire d’écoulement et de la surface de section du vaisseau considéré (Q = V x p.r2).


Figure 4 : Évolution de la pression dans l’ensemble de la circulation. Ce schéma montre que, quel que soit le niveau de l’appareil circulatoire envisagé (A, B, C, D, E, F ou G), le débit total aura toujours la même valeur. Schéma d’après Hermann Cier (2)

En raison de l’étalement progressif du sang, sur une surface de plus en plus vaste au fur et à mesure qu’il progresse le long du système artériel (image du cône), la vitesse d’écoulement se réduira progressivement des artères aux capillaires ; à ce niveau, elle passe par un minimum, pour augmenter ensuite dans les veines. Mais le débit dans un vaisseau est également exprimé par la loi de Poiseuille, en fonction de la différence de pression qui règne entre les extrémités du vaisseau, de sa longueur, de son rayon et de la viscosité du sang

En écrivant l’égalité de ces deux modalités d’expression du débit, il vient
En raison de l’étalement progressif du sang, sur une surface de plus en plus vaste au fur et à mesure qu’il progresse le long du système artériel (image du cône), la vitesse d’écoulement se réduira progressivement des artères aux capillaires ; à ce niveau, elle passe par un minimum, pour augmenter ensuite dans les veines. Mais le débit dans un vaisseau est également exprimé par la loi de Poiseuille, en fonction de la différence de pression qui règne entre les extrémités du vaisseau, de sa longueur, de son rayon et de la viscosité du sang

En écrivant l’égalité de ces deux modalités d’expression du débit, il vient

La vitesse d’écoulement du sang est donc fonction de la pression de perfusion et de la surface de section vasculaire. Lorsque le calibre du vaisseau ne change pas, le débit local est donc commandé par la pression, elle-même facteur de la vitesse d’écoulement. En réalité, le problème se complique du fait que le sang est un liquide hétérogène et que sa vitesse d’écoulement n’est pas la même en tous les points de la section droite d’un vaisseau, surtout s’il est de petit calibre. En raison des frottements pariétaux, le cours du sang est en effet très ralenti au contact de la paroi et il s’accélère dans les régions centrales où les globules rouges tendent à se rassembler.

Quoi qu’il en soit, vitesse, pression et débit sont étroitement reliés l’un à l’autre. Mais quel que soit le niveau où l’on fasse une section totale de l’appareil vasculaire, le schéma de la Figure 4 fait nettement apparaître que la valeur du débit y est identique. C’est sur cette base que s’adapteront la valeur de la pression et celle de la vitesse aux conditions locales sans cesse modifiées par le jeu de la vasomotricité. Hermann & Cier

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Bibliographie
(1) Biomécanique des fluides et des tissus – Michel Y. Jaffrin, Francis Goubel – Editions Masson, Paris 1998
(2) Précis de physiologie – H. Hermann, J.F. Cier – Editions Masson, Paris 1976
(3) Physiologie humaine – A.Vander, J. Sherman, D. Luciano, R. Brière-Chenelière – Mc Graw-Hill, troisième édition 1995
(4) Anatomie Médicale – Keith L. Moore, Arthur F. Dalley – Edition De Boeck Université 2001
(5) Les feuillets d’anatomie – Brizon, J. Castaing – Maloine éditeur, Paris 1953
(6) Thérapie crânio-sacrée – J.E. Upledger – Edition IPCO, Paris 1983